函数连续性的定义是什么？

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1.函数连续性的定义:?

设函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义,若 lim(x→x0)f(x)=f(x0), 则称f(x)在点x0处连续。?

若函数f(x)在区间I的每一点都连续,则称f(x)在区间I上连续。

2.函数连续必须同时满足三个条件：

（1）函数在x0?处有定义；

（2）x-> x0时，limf(x)存在；

（3）x-> x0时，limf(x)=f(x0)。

则初等函数在其定义域内是连续的。

扩展资料

间断点的定义：

间断点是指：在非连续函数y=f(x)中某点处xo处有中断现象，那么，xo就称为函数的不连续点。

间断点可以分为无穷间断点和非无穷间断点，在非无穷间断点中，还分可去间断点和跳跃间断点。如果极限存在就是可去间断点，不存在就是跳跃间断点。

1.可去间断点：函数在该点左极限、右极限存在且相等，但不等于该点函数值或函数在该点无定义。如函数y=（x^2-1)/(x-1)在点x=1处。

2.跳跃间断点：函数在该点左极限、右极限存在，但不相等。如函数y=|x|/x在点x=0处。

3.无穷间断点：函数在该点可以无定义，且左极限、右极限至少有一个不存在，且函数在该点极限为∞。如函数y=tanx在点x=π/2处。

4.振荡间断点：函数在该点可以无定义，当自变量趋于该点时，函数值在两个常数间变动无限多次。如函数y=sin(1/x)在x=0处。

可去间断点和跳跃间断点称为第一类间断点，也叫有限型间断点。其它间断点称为第二类间断点。

参考资料：

根据函数连续性的定义：对于域中的任意一个x0，在x0的域中存在

limf（x）=f（x0）（x->x0），

即当x0处函数的极限值等于该点的函数值时，该点的函数是连续的。如果函数在域中的每个点都是连续的，则函数在域中是连续的。

从图像的角度看，如果函数是连续的，图像就是一条连续的曲线。如果从某个点中断，则函数在该点不是连续的。

首先，函数应该在这一点上定义；其次，函数应该在这一点上有一个极限（即左极限应该等于右极限）；最后，函数在这一点上的极限值必须等于函数在这一点上的极限值。如果这三点同时满足，我们可以说函数在这一点上是连续的。

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